非局域漫射光学断层成像问题的逼近与唯一性结果

我们研究了从非局域 Dirichlet-to-Neumann (DN) 映射 $\Lambda^s_{\sigma,q}$ 反演非局域漫射光学断层成像方程 $(-\text{div}( \sigma \nabla))^s u+q u =0 \text{ in }\Omega$ 中扩散系数与吸收系数 $(\sigma,q)$ 的反问题。本文旨在建立以下逼近与唯一性结果。- 逼近：我们证明电导率方程 $\text{div}( \sigma \nabla v)=0 \text{ in }\Omega$ 的解可由非局域漫射光学断层成像方程的解在 $H^1(\Omega)$ 中逼近，且与电导率方程相关的 DN 映射 $\Lambda_\sigma$ 可由非局域 DN 映射 $\Lambda_{\sigma,q}^s$ 逼近。- 局部唯一性：我们证明，若 $\sigma$ 已在边界 $\partial\Omega$ 的邻域 $\mathcal{N}$ 中已知，则吸收系数 $q$ 可在 $\mathcal{N}$ 中被确定。- 全局唯一性：在与局部唯一性结果相同的假设下，若其中一个势在 $\Omega$ 中为零，则可借助逼近结果将局部确定转化为全局唯一性结果。值得一提的是，该逼近结果依赖于 Caffarelli--Silvestre 型延拓技术和 Hahn--Banach 定理的几何形式。