逼近 Slepian 过程的 Shepp 常数

Slepian 过程 $S(t)$ 是一个零均值、协方差为 $E S(t)S(t')=\max\{0,1-|t-t'|\}\, .$ 的平稳高斯过程。对任意 $T>0$ 和 $h>0$，定义 $F_T(h ) = {\rm Pr}\left\{\max_{t \in [0,T]} S(t) < h \right\}$ 以及常数 $\Lambda(h) = -\lim_{T \to \infty} \frac1T \log F_T(h)$ 和 $\lambda(h)=\exp\{-\Lambda(h) \}$；我们称之为“Shepp 常数”。本文旨在构造 $F_T(h)$ 以及进而 Shepp 常数的精确逼近。我们证明至少部分逼近极其精确。