通过闭包算子的近似代数：模与几何的公理化理论

基于 \.{I}nan 以及 Almahariq--Peters--Vergili 的工作，我们发展了一个基于幺环上代数相容闭包算子 $\Phi^{\!*}$ 的近似代数公理化框架。该算子被假定为外延的、单调的、幂等的、与加法相容的，并且关于左乘和右乘是平衡的，而吸收性仅在近似理想的定义中施加。第一个结构性结论是每个近似理想的闭包是一个普通的双边理想，因此近似商 $R/\!I$ 规范地是普通商 $R/\Phi^{\!*}(I)$。决定性的素理论结果是幺环中的每个近似素理想自动是 $\Phi^{\!*}$-闭的。因此，对于有单位元的交换环，$\mathrm{Spec}_{\!\Phi}(R)=\{P\in\mathrm{Spec}(R):\Phi^{\!*}(P)=P\}$，且近似 Zariski 拓扑恰好是在这个固定素轨迹上由经典谱诱导的子空间拓扑。我们还发展了相容的模理论，仔细区分了经典商和近似商，并证明了模 $\Phi^{\!*}_{M'}(0)$ 的诱导同态的第一同构定理，以及在闭核假设下的近似商版本。对于理想平移闭包 $\Phi^{\!*}(A)=A+J$，谱为 $V(J)\cong\mathrm{Spec}(R/J)$；特别地，模闭包 $A\mapsto A+m\mathbb Z$ 产生 $m$ 的素因子的有限离散空间。最后，在代数闭域上，我们证明了 $\mathrm{rad}_{\!\Phi}(I)=\sqrt{\Phi^{\!*}(I)}$，表明求值-分离蕴含自动源自经典 Hilbert 零点定理，并确立了对所有理想而言，点理想闭性等价于精确恒等式 $\mathrm{rad}_{\!\Phi}(I)=\mathrm I(V(I))$。