算法同调代数的一个公理化框架及局部化的另一种方法

本文为阿贝尔范畴的算法同调代数建立了一个公理化框架。这是通过展示阿贝尔范畴定义中所有存在量词来实现的，为了可计算性，这些量词需要转化为构造性的。我们针对一个常被研究的例子——在所谓可计算环 $R$（即具有显式算法来求解 $R$ 上单边（非）齐次线性系统的环）上的有限表现模的阿贝尔范畴——明确地做到了这一点。对于交换环 $R$ 中的有限生成极大理想 $\mathfrak{m}$，我们展示了如何将 $R_{\mathfrak{m}}$ 上（非）齐次线性系统的求解简化为 $R$ 上相关系统的求解。因此，$R$ 的可计算性蕴含了 $R_{\mathfrak{m}}$ 的可计算性。作为推论，我们得到了有限表现 $R_{\mathfrak{m}}$ 模范畴作为阿贝尔范畴的可计算性，而无需类似 Mora 的算法。该简化还附带给出了局部多项式环上理想隶属问题的复杂度估计。最后，在局部化多项式环的情形下，我们展示了这种同调驱动的替代方法相较于现有 Mora 算法实现的计算优势。