将离散 Fourier 变换应用于 Hardy-Littlewood 猜想

我们通过 $\mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}$ 上的离散 Fourier 变换研究素数对计数函数 $\pi_{2k}(n)$ 的渐近行为。我们发展的方法可以被视为 Hardy-Littlewood 圆法的离散模拟。我们讨论了该方法相对于圆法中使用的 $\mathbb{R} /\mathbb{Z}$ 上的 Fourier 级数所具有的一些优势。我们展示了如何从离散 Fourier 级数中恢复 Hardy-Littlewood 猜想所预测的 $\pi_{2k}(n)$ 的主项。这些论证依赖于 $\mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}$ 及其子群 $\mathbb{Z}/ Q\mathbb{Z}$（其中 $Q \, | \, n$）上 Fourier 变换的相互作用。