大有限域上的 Hardy-Littlewood 元组猜想

我们证明了大有限域上 Hardy-Littlewood 猜想（推广了孪生素数猜想）的以下函数域类比。设 $n,r$ 为正整数，$q$ 为奇素数幂。对于 $\mathbb{F}_q$ 上次数 $<n$ 的不同多项式 $a_1, \dots, a_r$，令 $\pi(q,n;\mathbf{a})$ 为 $\mathbb{F}_q$ 上次数为 $n$ 的首一多项式 $f$ 的数量，使得 $f+a_1, \dots, f+a_r$ 同时不可约。我们证明，当 $q$ 趋于无穷大（取奇素数幂）且 $n,r$ 固定时（元组 $a_1,\dots,a_r$ 无需固定），$\pi(q,n;\mathbf{a})$ 渐近等于 $q^n/n^r$。