素数中的线性方程

考虑一组非恒定的仿射线性型系统 \Psi，即 \psi_1,...,\psi_t: Z^d -> Z，其中任意两个均不线性相关。设 N 为一个大整数，K 为 [-N,N]^d 中的一个凸子集。Hardy 和 Littlewood 一个著名且困难的未解决猜想预测了当 N -> \infty 时，K 中使得整数 \psi_1(n),...,\psi_t(n) 同时为素数的整数点 n 的个数的渐近式。这蕴含了许多其他著名猜想，如 Hardy-Littlewood 素数 tuple 猜想、孪生素数猜想以及（弱）Goldbach 猜想。<p> 在本文中，我们在假设仿射线性型 \psi_1,...,\psi_t 中任意两个均非仿射相关的条件下（有条件地）验证了该渐近式；这排除了如孪生素数或 Goldbach 猜想等重要“二元”情形，但确实允许计数如等差数列等“非退化”构型。我们的结果假设了两族猜想，我们称之为逆 Gowers 范数猜想 GI(s) 与 Mobius 及零序列猜想 MN(s)，其中 s \in {1,2,...} 为系统的复杂度，衡量了各形式 \psi_i 相互依赖的程度。当 s = 1 时这些本质上是经典的，且作者最近解决了 s = 2 的情形。<p> 因此我们的结果在 s = 2 时是无条件的，特别地我们可以获得素数的 4 项等差数列 p_1 < p_2 < p_3 < p_4 <= N 的个数的期望渐近式，更一般地，对于任意涉及四个素数未知量的两个线性方程的（非退化）问题亦可。