椭圆曲线 $y^2=x^3+Dx$ 的 Lang-Trotter 猜想

设 $E$ 为 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线。令 $a_p$ 表示在有理素数 $p$ 处 Frobenius 自同态的迹。对固定整数 $r$，定义素数计数函数 $\pi_{E,r}(x):=\sum_{p\leq x,p\nmid \Delta_E,a_p=r}1$。Lang-Trotter 猜想预测 $$\pi_{E,r}(x)=C_{E,r}\cdot \frac{\sqrt{x}}{{\rm log}x}+o(\frac{\sqrt{x}}{{\rm log}x})$$ 当 $x\longrightarrow \infty$ 时成立，其中 $C_{E,r}$ 为特定非负常数。Hardy-Littlewood 猜想对形如 $ax^2+bx+c$ 的素数个数给出了与上述类似的渐近公式。我们建立了 Hardy-Littlewood 猜想与椭圆曲线 $y^2=x^3+Dx$ 的 Lang-Trotter 猜想之间的关系。我们证明 Hardy-Littlewood 猜想蕴含 $y^2=x^3+Dx$ 的 Lang-Trotter 猜想。反之，若 Lang-Trotter 猜想对某个 $D$ 和 $2r$（对 $y^2=x^3+Dx, p\nmid D, a_p$ 恒为偶数）以正常数 $C_{E,2r}$ 成立，则多项式 $x^2+r^2$ 表示无穷多个素数。对素数 $p$，若 $a_p=2r$，则 $p$ 必为形如 $x^2+r^2$ 的数。固定 $r$ 与 $D$，并假设 Hardy-Littlewood 猜想成立，我们得到满足 $a_p=2r$ 的素数在形如 $x^2+r^2$ 的素数集合中的密度。某些情形下密度为 $1/4$，这是自然的预期，但对所有 $D$ 并不成立。特别地，我们给出了当不存在素数 $p$ 使 $a_p=2r$ 时 $D$ 与 $r$ 的完整列表。