具有 Klein-4 约化自同构群的亏格 2 曲线的平均 Lang-Trotter 猜想

对于 $\mathbb{Q}$ 上无复乘的椭圆曲线 $E$，Lang 和 Trotter 猜想当 $X \rightarrow \infty$ 时，$$\# \{ p<X \mid E \text{ 在 } p \text{ 处有超奇异约化} \} \sim \frac{c\sqrt{X}}{\log X}$$，其中 $c>0$ 是仅依赖于 $E$ 的常数。Fourvy 和 Murty 得到了一个与 Lang-Trotter 猜想相关的平均估计，称为平均 Lang-Trotter 猜想。我们考虑了亏格 2 曲线的 Lang-Trotter 猜想，并针对曲线族 $C_{\lambda}:y^2=x(x-1)(x+1)(x-{\lambda})(x-1/ \lambda)$ 得到了类似于平均 Lang-Trotter 猜想的结果。这类曲线的特征是约化自同构群包含 Klein 4-群的亏格 2 曲线。