genus-2 曲线上关于 Lang-Trotter 猜想的平均结果：$S_3$ 约化自同构群

对于没有复数乘法的椭圆曲线 $E$ 上的 $\mathbb{Q}$，Lang 和 Trotter 猜想指出，$p<X$ 时 $E$ 约化为超奇点数的个数渐近等于 $c\sqrt{X}/\log X$，其中 $c>0$ 仅取决于 $E$ 的常数。尽管这仍是一个开放问题，但 Fouvry 和 Murty 建立了一个与 Lang-Trotter 猜想相关的平均估计。该结果称为 Lang-Trotter 猜想的平均版本。我们将 Lang-Trotter 猜想推广到 genus-2 曲线，并为曲线族 $C_{\lambda}:y^2=x(x-1)(x-{\lambda})(x-(\lambda-1)/{\lambda})(x-1/(1-\lambda))$ 获得类似 Lang-Trotter 猜想的平均版本。这些曲线被表述为具有约化自同构群包含对称群 $S_3$ 的 genus-2 曲线。