Morava $K$-理论在代数群上的应用

在本文中，我们讨论了一种基于 Morava $K$-理论处理特征零域上代数群上同调不变量的方法，该理论在 Levine--Morel 意义下是广义有向上同调理论。我们证明第二 Morava $K$-理论可检测 Rost 不变量的平凡性，并更一般地建立了上同调不变量的平凡性与 Morava 动机的分裂之间的联系。我们描述了广义 Rost 动机的 Morava $K$-理论，计算了某些仿射簇的 Morava $K$-理论，并借助 Morava $K$-理论刻画了 Witt 环基本理想的幂。此外，由 Witt 环基本理想的 $(n+2)$ 次幂，我们得到了二次曲面在余维数不超过 $2^n$ 的 Chow 群中挠部分的新的估计。我们计算了相对于素数 $p$ 的 $K(n)$-分裂簇在所有余维数不超过 $\frac{p^n-1}{p-1}$ 的 Chow 群中的挠，并提供了一个组合工具以估计余维数不超过 $p^n$ 的挠。证明中起到重要作用的是 Morava $K$-理论上的 gamma 滤子，它给出了挠之本质的概念性解释。进一步，我们证明了在某些条件下，光滑射影簇的 $K(n)$-动机分裂当且仅当其对所有 $m\le n$ 的 $K(m)$-动机分裂。