$k$ 超半 tournament 中的抗导向哈弗顿路径

$k$ 超半 tournament 是由两个部分 $(V(H),A(H))$ 构成的，其中 $V(H)$ 为顶点集合，$A(H)$ 为 $k$ 元组的集合，称为弧。对于 $V(H)$ 的任意 $k$ 子集 $S$，$A(H)$ 包含恰好一个属于 $S$ 的 $k!$ 个 $k$ 元组。显然，2-超半 tournament 是一个 tournament。超半 tournament 中的抗导向路径是一序列 $x_1 a_1 x_2 a_2 x_3 \ldots x_{t-1} a_{t-1} x_t$，其中 $x_1, x_2, \ldots, x_t$ 为互不相同的顶点，$a_1, a_{2},\ldots, a_{t-1}$ 为互不相同的弧，满足：对于任意 $i\in \{2,3,\ldots, t-1\}$，要么 $x_{i-1}$ 在 $a_{i-1}$ 中位于 $x_{i}$ 前且 $x_{i+1}$ 在 $a_{i}$ 中位于 $x_{i}$ 前，要么 $x_{i}$ 在 $a_{i-1}$ 中位于 $x_{i-1}$ 前且 $x_{i}$ 在 $a_{i}$ 中位于 $x_{i+1}$ 前。包含 $H$ 中所有顶点的抗导向路径称为抗导向哈弗顿路径。本文证明，除四个超半 tournament $T_3^{c}, T_5^{c}, T_7^{c}$ 和 $H_{4}$ 外，每个 $k$ 超半 tournament 中的 $n$ 个顶点（其中 $2\leq k\leq n-1$）都存在一条抗导向哈弗顿路径，这扩展了 Gr"{u}nbaum 对 tournament 的定理（除三个 tournament $T_3^{c}, T_5^{c}$ 和 $T_7^{c}$ 外，每个 tournament 都存在一条抗导向哈弗顿路径）。