关于竞赛图中路径长幂的一个注记

$k$个顶点上路径的平方是一条有向路径$x_1\ldots x_k$，其中对每个$i\in \{1,\ldots, k-1\}$，$x_i$指向$x_{i+2}$。近来，Yuster证明任意$n$个顶点的竞赛图包含长度至少为$n^{0.295}$的路径平方。在本短注中，我们改进了该界。更确切地说，我们证明对任意$\varepsilon>0$，存在$c_{\varepsilon}>0$，使得任意$n$个顶点的竞赛图包含至少$c_{\varepsilon}n^{1-\varepsilon}$个顶点的路径平方。