关于树的竞赛反 Sidorenko 定向

如果有向图 $\vec{H}$ 在任意竞赛图 $\vec{T}$ 中的同态密度受其在大规模均匀随机竞赛图中的同态密度上界控制，则称该有向图为竞赛反 Sidorenko 的。我们证明以下结论：（1）每条具有至少三条弧且恰好有一个非叶源点或汇点的有向路都是竞赛反 Sidorenko 的。（2）如果任意叶顶点到任意源点或汇点的距离至少为二，且任意一对非叶源点或汇点之间的距离是四的倍数，则有向路是竞赛反 Sidorenko 的。（3）每只恰好有三条腿的蜘蛛都存在竞赛反 Sidorenko 定向。第一个结果证明了 He、Mani、Nie、Tung 和 Wei 提出的一个猜想。第三个结果解决了同一篇论文中的一个问题，实际上建立了一个更为一般的陈述，并为 Fox、Himwich、Mani 和 Zhou 的一个猜想提供了支持证据。第二个结果产生了第一个关于弧数呈指数级大的竞赛反 Sidorenko 有向路族。