前象的反正交透射及其运用

设 $f: N^n\to \mathbb{R}^{n+1}$ 为具有高斯映射 $\nu: N\to S^n$ 的前象，并设 $P\in \mathbb{R}^{n+1}$ 为一点，使得对任意 $x\in N$ 有 $(f(x)-P)\cdot \nu(x) \ne 0$。本文中，对于由 $$\widetilde{f}(x)=f(x)-\frac{||f(x)-P||^2}{2(f(x)-P) \cdot \nu(x)}\nu(x)$$ 定义的映射 $\widetilde{f}: N\to \mathbb{R}^{n+1}$，证明了以下四点。(1) $\widetilde{f}$ 是在 $\widetilde{f}(x)$ 处具有高斯映射 $\widetilde{\nu}(x)=\frac{f(x)-P}{||f(x)-P||}$ 的前象。(2) $\widetilde{f}$ 是 $f$ 相对于 $P$ 的唯一反正交透射。(3) 对任意 $x\in N$ 成立性质 $(\widetilde{f}(x)-P)\cdot \widetilde{\nu}(x)\ne 0$。(4) 对任意 $x\in N$ 成立等式 $||\widetilde{f}(x)-P||=||\widetilde{f}(x)-f(x)||$。此外，给出了主要结果的三个应用。作为第一个应用，给出了Cahn-Hoffman向量公式的推广。第二个应用是阐明反正交透射的光学意义。第三个应用给出了给定前象成为前曲面（front）的判据。