第一类相伴正交多项式与达布变换

设$\un,$为定义在多项式空间$\mathbb{P}$上的拟确定线性泛函。对于这样的泛函,我们可以定义一列首一正交多项式(简称SMOP)$(P_n)_{n\geq 0},$它满足三项递推关系。将递推系数指标平移一个单位,得到第一类相伴多项式序列,它们关于记为$\un^{(1)}$的线性泛函正交。文献中研究了泛函$\un$的两种特殊变换:典型Christoffel变换$\widetilde \un=(x-c)\un$和典型Geronimus变换$\widehat \un=\frac{\un}{(x-c)}+M\deltan_c$,其中$c$为固定复数,$M$为自由参数,$\deltan_c$为定义在$\mathbb{P}$上的线性泛函,满足$\prodint{\deltan_c,p(x)}=p(c)$。对于具有SMOP$(\widetilde P_n)_{n\geq 0}$的Christoffel变换,我们感兴趣于分析线性泛函$\un^{(1)}$与$\widetilde{\un}^{(1)}$之间的关系。这里上标表示分别与第一类正交多项式序列$(P_n^{(1)})_{n\geq 0}$和$(\widetilde P_n^{(1)})_{n\geq 0}$相伴的线性泛函。该问题也对Geronimus变换进行了研究。在此,我们利用LU和UL分解给出它们对应首一Jacobi矩阵之间的紧密关系。为得到此结果,我们首先需要研究$\un^{-1}$(逆泛函)与$\un^{(1)}$之间的关系,这可由二次Geronimus变换表达。