实轴上矩阵双正交多项式的变换理论与 Christoffel 公式

本文研究实轴上矩阵正交多项式的变换。正交性在广义上理解，由非退化连续半双线性形式给出，而该形式又由具有明确支撑的拟定矩阵双变量广义函数决定。对此类半双线性形式的正交性讨论包括：带线性泛函的矩阵 Hankel 情形、一般矩阵 Sobolev 正交性，以及具有无限支撑的离散正交多项式。首先考虑的变换是 Geronimus 型，发展了两种不同方法。一种基于扰动多项式的谱性质、由第二类函数构造的谱方法。随后，利用谱技术和谱射流，给出了变换后多项式与范数的 Christoffel-Geronimus 公式。对于此类变换，本文还提出了一种不需要谱技术的替代方法。文中也讨论了矩阵谱线性变换。这些变换可理解为双变量广义函数矩阵的有理扰动，加上适当质量的添加，而这些质量由多项式分母的谱性质决定。如同 Geronimus 情形，应用了谱与混合谱/非谱两种技术。两种方法均得到 Christoffel--Geronimus--Uvarov 公式并给出了一些应用。最后在二维非阿贝尔 Toda 格点与非交换 KP 层级的背景下讨论变换理论，将其理解为拟定半双线性形式的连续变换理论。该方法允许寻找受扰动的拟tau 与 Baker 矩阵。