CMV双正交洛朗多项式. II: Geronimus-Uvarov扰动的Christoffel公式

本文是同一作者近期论文“CMV双正交洛朗多项式：Christoffel与Geronimus变换的Christoffel公式”的延续。研究了复平面上由双变量线性泛函刻画的洛朗多项式的拟定号半双线性形式，以及相应的CMV双正交洛朗多项式族——包括Sobolev与离散Sobolev正交性——在两类Geronimus-Uvarov变换下的行为。这两类变换要么是线性泛函乘以一个洛朗多项式并除以一个洛朗多项式的复共轭，同时加上适当的质量（支撑在分母中扰动洛朗多项式零点上的线性泛函），要么相反，乘以洛朗多项式的复共轭并除以洛朗多项式。给出了CMV双正交洛朗多项式、其范数以及Christoffel-Darboux核的连接公式。对于制备的洛朗多项式，这些连接公式导出了拟行列式（行列式的商）Christoffel公式，将任意次数的扰动双正交洛朗多项式用$2N_{\mathfrak C}+2N_\Gamma$个未扰动双正交洛朗多项式、其第二类函数或Christoffel-Darboux核及其混合版本表示。当线性泛函支撑在单位圆上时，互反多项式起着特别相关的作用，并且Christoffel公式现在提供了两种用原始量表示相同扰动量的可能方式，一种仅使用未扰动双正交洛朗多项式族，另一种使用Christoffel-Darboux核及其混合版本。