无记忆确定性旅游步的统计分布解析结果：维数效应与均场模型

考虑一个介质，其中的 N 个点坐标在单位 d 维超立方体的边缘上均匀随机生成。每个点都有一个 walker，从该点出发，按照确定性规则前往最近的、在前 μ 步内未被访问的点（确定性旅游步）。该动力学生成的每个轨迹都有一个初始的非周期性部分 t 步（瞬态）和最终的周期性部分 p 步（吸引子）。 neighborhood rank 概率由归一化不完全 beta 函数 I_d = I_{1/4}[1/2,(d+1)/2] 参数化。联合分布 S_{μ,d}^{(N)}(t,p) 是相关的，先前研究的边缘分布是其特例。我们证明，对于欧几里得空间中的无记忆确定性旅游步，该分布为：S_{1,d}^{(∞)}(t,p) = [Γ(1+I_d^{-1}) (t+I_d^{-1})/Γ(t+p+I_d^{-1})] δ_{p,2}，其中 t=0,1,2,...,∞，Γ(z) 为 gamma 函数，δ_{i,j} 为 Kronecker 符号。均场模型包括随机链模型（对应 d → ∞）和随机映射模型（即使 μ=0，也呈现非平凡循环分布 [S_{0,rm}^{(N)}(p) ∝ p^{-1}]）：S_{0,rm}^{(N)}(t,p) = Γ(N)/\{Γ[N+1-(t+p)]N^{t+p}\}。基本量是探索点数 n_e=t+p 和 I_d。虽然获得的分布较简单，但它们并非直接得出，且已通过数值实验验证。