随机介质中确定性行走的记忆效应：平均场近似下的解析计算

考虑一个由随机分布的点组成的随机介质，这些点之间的距离没有相关性。这就是随机链接模型，它是欧几里得随机点结构的高维极限（平均场近似）。在随机链接模型中，在离散时间步长下，行走者移动到最近且在过去 $\mu$ 步（记忆）内未被访问过的位置，产生一种确定性的部分自回避行走（旅游者行走）。我们解析地获得了具有记忆 $\mu = 2$ 的行走者所探索的点数 $n$ 的分布，以及瞬态和周期的联合分布。这一结果能够解释在 $\mu = 1$（无记忆，由极值统计驱动）和 $\mu = 2$（有记忆，由组合统计驱动）情况下探索行为的突变。在 $\mu = 1$ 的情况下，热力学极限 $(N \gg 1)$ 下的平均新访问点数仅为 $<n> = e = 2.72 ...$，而在 $\mu = 2$ 的情况下，平均访问点数 $<n>$ 与 $N^{1/2}$ 成正比。此外，这一结果使我们能够建立 $\mu=2$ 的随机链接模型与 $\mu=0$ 的随机映射（无关联的往返距离）之间的等价性，以及瞬态时间为零与非零瞬态时间情况之间的剧烈变化。