大象永远记得：非马尔可夫随机游走中的准长程记忆效应

我们考虑一种离散时间随机游走，其中在时间步 $t$ 上的随机增量取决于过程的完整历史。我们准确计算了位置的均值和方差，并讨论了其对初始条件和记忆参数 $p$ 的依赖性。在记忆效应消失的临界值 $p_c^{(1)}=1/2$ 处，存在从弱局域 regime（步行者返回其起点）到逃逸 regime 的转变。在逃逸 regime 中，存在第二个临界值，使得随机游走变得超扩散。证明其概率分布由具有随时间和起始位置依赖性的跳跃率的非马尔可夫 Fokker-Planck 方程控制。 在大尺度上，记忆组织为随机游走器的有效谐振振子势，其时间依赖的弹簧常数为 $k = (2p-1)/t$。该问题的解为具有时间依赖均值和方差的高斯分布，这两者都取决于过程的初始化方式。