非整数维中的随机游走

可以在整数维 $D$ 空间的超立方格子上定义随机游走。对于这样的过程，可以推导出表示某些事件概率的公式，例如在给定时间步数后返回原点的概率。这些公式对于整数 $D$ 具有物理意义。然而，当延拓到非整数 $D$ 时，这些公式作为概率是不可接受的，因为它们给出的值可能大于 $1$ 或小于 $0$。在本文中，我们提出了一种对所有实数 $D$ 都能给出可接受概率的随机游走。这种 $D$ 维随机游走定义在由同心球面组成的旋转对称几何上。我们用 Riemann zeta 函数给出了所有 $D$ 值下返回原点概率的精确结果。该结果具有数论解释。