虚二次基的宽度$w$非相邻形式的分析

我们考虑以代数整数$\tau$为基的数字展开。对于$w \geq 2$，允许的数字集由0和每个模$\tau^w$的剩余类中不被$\tau$整除的一个代表元组成。通过施加宽度$w$-NAF条件（即展开中每$w$个连续数字的块至多包含一个非零数字）来避免由此产生的冗余。这种构造可结合Koblitz曲线高效地用于椭圆曲线密码学。本文分析固定非零数字的出现次数。在一般设定下，我们研究给定展开长度的所有$w$-NAF。我们给出了所有展开中此类数字出现次数的期望和方差的显式表达式。此外，还证明了中心极限定理。在虚二次$\tau$和最小范数代表元数字集的情况下，分析更为精细：我们给出了某个区域（例如圆盘）中$\Z[\tau]$所有元素的$w$-NAF中数字出现次数的渐近公式。主项与全块长度分析一致，但二阶项中表现出周期性波动。证明遵循Delange方法。我们还证明，在虚二次$\tau$和$w \geq 2$的情况下，最小范数代表元数字集导致$\Z[\tau]$中\emph{所有}元素的$w$-NAF。此外，还陈述了基本域的一些性质。