一类无限维算子的特征值与辛特征值之间的序关系

本文在“无限维辛谱理论”方向上取得若干结果。我们证明了一类特殊无限维算子的特征值与辛特征值之间的一个不等式。设 $T$ 为一个算子，使得对某个 $\alpha > 0$，$T - \alpha I$ 是紧的。记 $\{{\lambda_j^R}^\downarrow(T)\}$ 为 $T$ 严格位于 $\alpha$ 右侧的特征值集并按递减顺序排列，$\{{\lambda_j^L}^\uparrow(T)\}$ 为 $T$ 严格位于 $\alpha$ 左侧的特征值集并按递增顺序排列。进一步，记 $\{{d_j^R}^\downarrow(T)\}$ 为严格位于 $\alpha$ 右侧的辛特征值按递减顺序排列，$\{{d_j^L}^\uparrow(T)\}$ 为严格位于 $\alpha$ 左侧的辛特征值按递增顺序排列（这样的排列是可能的，因为将表明辛特征值唯一的可能的聚点为 $\alpha$）。则我们证明 $${d_j^R}^\downarrow(T) \leq {\lambda_j^R}^\downarrow(T), \quad j = 1,2, \cdots, s_r$$ 以及 $${\lambda_j^L}^\uparrow(T) \leq {d_j^L}^\uparrow(T), \quad j = 1,2, \cdots, s_l,$$ 其中 $s_r$ 和 $s_l$ 分别表示 $T$ 严格位于 $\alpha$ 右侧和左侧的辛特征值个数。这推广了 Bhatia 与 Jain（J. Math. Phys. 56, 112201 (2015)）得到的有限维结果。高斯协方差算子（GCO）与正绝对范数可达算子（$(\mathcal{A}\mathcal{N})_+$ 算子）作为我们所考虑算子类的特例出现。