一种最优祖先标记方案及其在 XML 树和通用偏序集上的应用

在本文中，我们解决了祖先标记方案问题，其旨在为根树的节点分配尽可能短的标签（比特串），使得仅通过检查任意两个节点的分配标签即可回答祖先查询。该问题由 Kannan 等人 [STOC '88] 在二十多年前提出，是信息标记方案领域中被研究最多的问题之一。我们构造了一个针对 $n$ 节点树的祖先标记方案，其标签大小为 $\log_2 n + O(\log \log n)$ 比特，从而匹配了 Alstrup 等人 [SODA '03] 给出的 $\log_2 n + O(\log \log n)$ 比特下界。我们的方案基于一个简化的祖先方案，该方案在一组受限树上表现极佳。特别地，对于深度至多为 d 的 n 节点树集合，简化祖先方案享有 $\log_2 n + 2 \log_2 d + O(1)$ 比特的标签大小。由于大多数 XML 树的深度至多为某个小常数，这样的祖先方案可能具有实用价值。此外，我们还获得了一种邻接标记方案，用大小为 $\log_2 n + 3 \log_2 d + O(1)$ 比特的标签标记深度为 d 的 n 节点树。我们所有的方案都在线性时间内分配标签，并保证任何查询可在常数时间内回答。最后，我们的祖先方案在构造小型通用偏序集（posets）方面找到应用。具体而言，对于任意固定整数 k，它使得能够为树维度至多为 k 的 n 元素偏序集族构造大小为 $\tilde O(n^k)$ 的通用偏序集。除去低阶项，该界是紧的，这得益于 Alon 和 Scheinerman [Order '88] 的 $n^{k-o(1)}$ 下界。