动态与多功能标记方案

我们研究了支持森林中邻接、祖先、兄弟和连通性查询的标记方案。在超过 20 年的时间里，已证明存在支持上述每种功能的 $\log n + O(\log \log)$ 标记方案，其中最近的是祖先查询方案 [Fraigniaud and Korman, STOC '10]。几种多功能标记方案也分别享有 $\log n + \Omega(\log \log n)$ 的下界或 $\log n + O(\log \log n)$ 的上界。值得注意的是，邻接 + 兄弟查询的上界为 $\log n + 5\log \log n$，而兄弟、祖先和连通性查询的下界均为 $\log n + \log \log n$ [Alstrup et al., SODA '03]。我们改进了 $O$-记号中隐藏的常数。具体而言，我们通过修改现有方法，证明了连通性 + 祖先以及连通性 + 兄弟查询的 $\log n + 2\log \log n$ 下界，以及连通性 + 邻接 + 兄弟查询的 $\log n + 3\log \log n + O(\log \log \log n)$ 上界。在动态标记方案的背景下，已知祖先查询需要 $\Omega(n)$ 比特 [Cohen, et al. PODS '02]。相比之下，我们给出了邻接、兄弟和连通性查询标签大小的 $2\log n$ 比特上界和下界，以及支持所有三种功能的 $3 \log n$ 比特界。对于平面图、有界树宽图、有界 arboricity 图和区间图，已存在高效的邻接标记方案。在动态设置下，我们证明了这些图族中每一种的下界均为 $\Omega(n)$。