小深度树的紧凑祖先标号方案

祖先标号方案对任意树的节点进行标号，使得仅通过查看树中任意两个节点的相应标号即可回答它们之间的祖先查询。评估祖先标号方案质量的常用度量是其标号大小，即在所有$n$个节点的树中所存储标号的最大比特数。祖先标号方案的设计在XML搜索引擎中有着应用。在这些应用的背景下，即使是标号大小的微小改进也很重要。事实上，关于该主题的文献关注的是精确的标号大小，而不仅仅是其数量级。因此，在提出大小为$2\log n$比特的原始方案之后，大量工作致力于改进标号大小的上限。当前最先进上限是$\log n + O(\sqrt{\log n})$比特，这仍与已知的$\log n + \Omega(\log\log n)$下限相去甚远。此外，加性$O(\sqrt{\log n})$项中隐藏的常数因子很大，这使得该项在典型的当前XML树中主导了标号大小。为了对真实XML数据提供良好的性能，我们依赖于这样一个观察：典型XML树的深度被一个小的常数所限制。考虑到这一点，我们针对最多具有$n$个节点且深度至多为$d$的树族，提出了一种大小为$\log n+2\log d +O(1)$的祖先标号方案。作为主要结果的补充，我们证明了一个可能具有独立意义的结果，即关于深度有界树构成的森林族存在线性通用图。