利用Minor-Universal树改进最近公共祖先的标记方案

最近公共祖先的标记方案为树的每个节点分配一个称为标签的不同二进制字符串，使得给定两个节点的标签（且无关于树拓扑的进一步信息）我们可以计算它们最近公共祖先的标签。目标是使标签尽可能短。Alstrup, Gavoille, Kaplan, and Rauhe [Theor. Comput. Syst. 37(3):441-456 2004] 证明了 $O(\log n)$ 位标签已足够。最近，Alstrup, Halvorsen, and Larsen [SODA 2014] 将其改进为仅 $2.772\log n$，并给出了 $1.008\log n$ 的下界。我们将设计最近公共祖先的标记方案与一种称为minor-universal tree的树的存在性联系起来，该树包含每个具有 $n$ 个节点的树作为拓扑子式。尽管不清楚标记方案是否必须基于这一概念，我们认为现有方案可以如此重新表述，并且它使我们能够获得关于标签长度的清晰且良好的界。作为主要上界，我们证明了 $2.318\log n$ 位标签已足够。令人惊讶的是，对于具有 $n$ 个节点的二叉树的minor-universal tree的概念已在不同的背景下被Hrubes等人[CCC 2010]使用，且Young, Chu, and Wong [J. ACM 46(3):416-435, 1999]引入了密切相关的universal tree概念。在下界方面，我们证明了对于任意具有 $n$ 个节点的树的minor-universal tree，其大小为 $\Omega(n^{2.174})$。这突出了所有基于此类树的方法的一个自然限制。我们的下界技术还意味着在Young等人意义下任意universal tree的大小为 $\Omega(n^{2.185})$，从而大幅改进了他们的 $\Omega(n\log n)$ 下界。我们用一个通用变换补充了存在性结果，该变换在任何基于minor-universal tree的方案中将查询时间降至常数。