最近公共祖先的近似最优标注方案

我们考虑 NCA 标注方案：给定一棵有根树 $T$，用二进制串标注 $T$ 的节点，使得仅通过查看任意两个节点的标注，就能确定它们最近公共祖先的标注。对于具有 $n$ 个节点的树，我们给出了上界和下界，证明大小为 $(2\pm \epsilon)\log n$（$\epsilon<1$）的标注既是充分的也是必要的。（本文中所有对数均以 2 为底。）Alstrup、Bille 和 Rauhe（SIDMA'05）证明了祖先标注方案和 NCA 标注方案的标注大小为 $\log n +\Omega(\log \log n)$。我们的下界将 NCA 标注方案的这一结果提高到 $\log n + \Omega(\log n)$。由于 Fraigniaud 和 Korman（STOC'10）已确定祖先标注方案的标注大小为 $\log n +\Theta(\log \log n)$，我们的新下界区分了祖先标注方案和 NCA 标注方案。我们的上界改进了 Alstrup、Gavoille、Kaplan 和 Rauhe（TOCS'04）提出的 $10 \log n$ 上界，且我们的理论结果甚至优于 Fischer（ESA'09）近期的一些实验研究，这些研究表明同一 NCA 标注方案的变体均具有约 $8 \log n$ 大小的标注。