最优最重诱导祖先问题

我们重新审视由 Gagie、Gawrychowski 和 Nekrich [CCCG 2013] 引入并在字符串算法中有诸多应用的“最重诱导祖先”（HIA）问题。设 $T_1$ 与 $T_2$ 为两棵有根树，其节点权重在所有根到叶路径上递增，叶子上带标签，且同一树中任意两叶子标签不同。节点对 $(u, v)\in T_1 \times T_2$ 被称为“诱导”的，当且仅当存在被 $u$ 与 $v$ 的叶后代共同拥有的标签。在 HIA 查询中，给定节点 $x \in T_1$ 与 $y \in T_2$，目标是找到总权重最大的诱导节点对 $(u, v)$，使得 $u$ 是 $x$ 的祖先且 $v$ 是 $y$ 的祖先。令 $n$ 为两树大小的上界。已知不存在大小为 $\tilde{\mathcal{O}}(n)$ 且能在 $o(\log n / \log \log n)$ 时间内回答 HIA 查询的数据结构 [Charalampopoulos, Gawrychowski, Pokorski; ICALP 2020]。该（无条件）下界与迄今已知最快的 $\tilde{\mathcal{O}}(n)$ 大小 HIA 问题数据结构 [Abedin, Hooshmand, Ganguly, Thankachan; Algorithmica 2022] 的查询时间相差一个 $\operatorname{polyloglog} n$ 因子。本文中，我们通过给出一个可在 $\tilde{\mathcal{O}}(n)$ 时间内构建、并以 $\mathcal{O}(\log n/\log\log n)$ 时间回答 HIA 查询的数据结构，解决了近线性空间情形下 HIA 问题的查询时间复杂度。作为直接推论，我们得到一个 $\tilde{\mathcal{O}}(n)$ 大小的数据结构，可在该空间情形下以最优时间维护静态串与动态串（长度均不超过 $n$）的 LCS。我们方法的主要要素是分数级联与对深度为 $\mathcal{O}(\log n/ \log\log n)$ 的树分解的利用。