无序标记树的反对映映射

两棵有根标记树 $T_1(V_1, E_1)$ 与 $T_2(V_2, E_2)$ 之间被广泛研究的 Tai 映射定义了 $T_1$ 与 $T_2$ 节点间保持祖先关系的一一映射。对于无序树，寻找最大权 Tai 映射的问题是 NP 完全的。本文中，我们定义反对映映射 $M\subseteq V_1\times V_2$ 为两棵无序标记树间的二元关系，使得任意两个 $(x,y), (x', y')\in M$ 违背祖先关系，从而不能属于同一 Tai 映射，即 $(x\le x' \iff y\not \le y') \vee (x'\le x \iff y'\not \le y)$，其中祖先序 $x<x'$ 表示 $x$ 是 $x'$ 的祖先。寻找最大权反对映映射出现在通过整数规划求解最大权 Tai 映射问题的割平面法中。我们给出了当两树之一为路径时寻找最大权反对映映射的高效多项式时间算法，并进一步展示如何推广该结果，从而为两棵无序标记树的最优反对映映射提供可多项式计算的下界。后一结果源于由更受限条件 $x\sim x' \iff y\not\sim y'$ 定义的特殊反对映映射类，其中 $\sim$ 表示两节点属于同一根到叶路径。对于此类，我们给出直接在两棵无序树上以 $O(|V_1|^2|V_2|^2)$ 求解该问题的有效算法。