关于秩有界树的旋转距离

高效（在$poly(n)$时间内）计算具有$n$个内部节点的两棵二叉树之间的旋转距离，是树数据结构高度平衡研究中的一个长期未决问题。在本文中，我们开启了对该问题的研究，对输入给定的树的秩进行界定（秩由Ehrenfeucht与Haussler（1989）在决策树背景下定义）。我们将两棵秩至多为$r$、具有$n$个内部节点的给定二叉树$T_1$与$T_2$之间的秩有界旋转距离定义为将$T_1$变换为$T_2$的最短旋转序列长度，且限制中间树秩至多为$r$，记作$d_r(T_1,T_2)$。我们证明旋转距离问题可在多项式时间内归约到秩有界旋转距离问题。这推动了该问题在组合与算法前沿的研究。观察到秩为$1$的树恰好与斜树（每个内部节点至少有一个叶子作为孩子的二叉树）一致，我们在该前沿给出如下结果：我们提出一种$O(n^2)$时间算法用于计算$d_1(T_1,T_2)$。即，当给定树为斜树时（我们称此变体为斜旋转距离问题）——其中间树也被限制为斜树。特别地，我们的技术意味着对任意两棵斜树有$d(T_1,T_2) \le n^2$。我们给出如下上界：对任意秩分别至多为$r_1$与$r_2$的两棵树$T_1$与$T_2$，有$d_r(T_1,T_2) \le n^2 (1+(2n+1)(r_1+r_2-2))$，其中$r = max\{r_1,r_2\}$。该界在$r=1$时渐近紧。在上述定理的证明过程中，我们将二叉树关联到置换与二元多项式，并证明了斜树情形下的若干刻画。