亚可加价值函数的 $O(\log \log n)$ 次近似预算可行机制

在预算可行机制设计中，存在一组物品 $U$，每个物品由不同的所有者拥有。物品 $e$ 的拥有者为其提供商品所需的私人成本 $\overline{c}_e$。买方希望从物品的卖家处 procurement 价值最大的物品集合，其中物品集合 $S\subseteq U$ 的价值由价值函数 $v:2^U\to \mathbb{R}_+$ 给出。买方的总支付预算为 $B \in \mathbb{R}_+$。我们希望设计一种诚实的机制，即卖家被激励报告其真实成本，预算可行，即卖家所得总支付不超过预算 $B$，且输出的物品集合价值较大 $\text{OPT}:=\max\{v(S):\overline{c}(S)\le B,S\subseteq U\}$。预算可行机制设计已被广泛研究，文献集中关注于（类）亚可加价值函数，以及各种多项式时间预算可行机制，为加性、亚调和 XOS 价值函数的特殊情况均设计了实现常数因子近似的机制。然而，对于一般的亚可加价值函数，已知的最佳多项式时间预算可行机制（给定需求或acle）可实现的最佳近似因子仅为 $O(\log n / \log \log n)$，其中 $n$ 为物品数。我们显著性地提升了该水平，通过设计一种针对亚可加价值函数的随机预算可行机制，实现了显著改善的近似因子 $O(\log\log n)$，并在给定需求或acle 的情况下以多项式时间运行。