一个周期为 $1$ 的 $\mathbb{R}$-动机 $v_{1}-$自映射

我们考虑 $\mathrm{C}_2$ 在 $1$ 型谱 $\mathcal{Y} := \mathrm{M}_2(1) \wedge \mathrm{C}(\eta)$ 上的非平凡作用，该谱以容许一个 $1$-周期 $v_1-$自映射而著称。所得的有限 $\mathrm{C}_2$-等变谱 $\mathcal{Y}^{\mathrm{C}_2}$ 也可视为有限 $\mathbb{R}$-动机谱 $\mathcal{Y}^\mathbb{R}$ 的复点。在本文中，我们证明 $\mathcal{Y}$ 的一个 $1$-周期 $v_1-$自映射可以提升为 $\mathcal{Y}^{\mathrm{C}_2}$ 以及 $\mathcal{Y}^{\mathbb{R}}$ 的自映射。进一步，$\mathcal{Y}^{\mathbb{R}}$ 的自映射的余纤维是 $\mathbb{R}$-动机 Steenrod 代数子代数 $\mathcal{A}^\mathbb{R}(1)$ 的一个实现。我们还证明该 $\mathrm{C}_2$-等变自映射在 $\mathcal{Y}^{\mathrm{C}_2}$ 的几何不动点上为幂零的。