一条引人注目的亏格16的超椭圆Shimura曲线商

设 $F$ 为 $\mathbf{Q}(\zeta_{32})$（32次单位根的分圆域）的极大全实子域。设 $D$ 为 $F$ 上的四元数代数，恰好在 $F$ 的实位中位于 $2$ 之上的唯一素点及 $7$ 个实位处分歧。设 $\mathcal{O}$ 为 $D$ 中的极大序，$X_0^D(1)$ 为依附于 $\mathcal{O}$ 的 Shimura 曲线。令 $C = X_0^D(1)/\langle w_D \rangle$，其中 $w_D$ 是 $X_0^D(1)$ 上唯一的 Atkin-Lehner 对合。我们证明曲线 $C$ 具有若干惊人特征。首先，它是一条亏格 $16$ 的超椭圆曲线，其超椭圆对合是例外的。其次，$C$ 上有 $34$ 个 Weierstrass 点，且其中恰好一半为 CM 点；这些点定义在唯一的 CM 扩张 $E/F$ 的 Hilbert 类域上，该扩张的类数为 $17$，包含于 $\mathbf{Q}(\zeta_{64})$（64次单位根的分圆域）中。第三，$C$ 的 Jacobian 的 $2$-挠点域的正规闭包为 Harbater 域 $N$，即唯一的在 $2$ 和 $\infty$ 外不分歧的 Galois 数域 $N/\mathbf{Q}$，其 Galois 群满足 $\mathrm{Gal}(N/\mathbf{Q})\simeq F_{17} = \mathbf{Z}/17\mathbf{Z} \rtimes (\mathbf{Z}/17\mathbf{Z})^\times$。事实上，Jacobian $\mathrm{Jac}(X_0^D(1))$ 具有如下显著性质：其每个单因子均有一个 $2$-挠点域，其正规闭包恰为域 $N$。最后，或许关于 $C$ 最令人惊讶的事实是，它在 $\mathbf{Q}$ 上也是超椭圆的。