一个与负定函数相关的不等式

本文是 Lifshits 和 Tyurin 预印本 arXiv:1105.4214 的大幅推广版本。我们证明，对于 $R^n$ 中任意一对独立同分布的随机向量 $X, Y$ 以及任意实值连续负定函数 $g: R^n\to R$，不等式 $$E g(X-Y) \le E g(X+Y)$$ 成立。特别地，对于 $a \in (0,2]$ 和欧几里得范数 $|.|$，有 $$E |X-Y|^a \le E |X+Y|^a.$$ 后一不等式由 A. Buja 等人 (Ann. Statist., 1994) 提出，并用于多元统计中的一些应用。我们展示了其与双分数布朗运动 (bifractional Brownian motion) 之间令人惊讶的联系，并提供了一些相关的反例。