稳定向量范数期望的一个相关性不等式

对于 $0<q\le 2,\ 1\le k < n,$ 令 $X=(X_1,...,X_n)$ 与 $Y=(Y_1,...,Y_n)$ 为对称 $q$-稳定随机向量，使得 $X_1,...,X_k$ 与 $X_{k+1},...,X_n$ 的联合分布分别等于 $Y_1,...,Y_k$ 与 $Y_{k+1},...,Y_n$ 的联合分布，但对任意 $1\le i \le k,\ k+1\le j \le n$，$Y_i$ 与 $Y_j$ 独立。我们证明 $\Bbb E (f(X)) \ge \Bbb E (f(Y))$，其中 $f$ 是 $\Bbb R^n\setminus \{0\}$ 上任意连续的、正定的、阶为 $p\in (-n,0)$ 的正齐性函数，且 $f$ 在 $\Bbb R^n$ 中是正定分布，并对任意 $u\in \Bbb R^k,\ v\in \Bbb R^{n-k}$ 满足 $f(u,v)=f(u,-v)$。作为特例，我们证明对任意 $p\in (-n,-n+1)$ 有 $$\Bbb E\ (\max_{i=1,...,n} |X_i|)^p \ge \Bbb E\ (\max_{i=1,...,n} |Y_i|)^p$$。后一不等式与 Slepian 引理及高斯相关问题有关。