极大相关性的张量化

两个随机变量 X 和 Y 之间的极大（或 Hilbert）相关系数记为 \{X:Y\}，它是实可测函数 f, g 的 |Corr(f(X),g(Y))| 的上确界，其中“Corr”表示 Pearson 相关系数。一个经典结论是，对于独立变量对 (X_i,Y_i)_{i\in I}，\{\vec{X}_I:\vec{Y}_I\} 是 \{X_i:Y_i\} 的上确界。本专著的主要目标是证明当 (X_i,Y_i) 之间仅具有部分独立性时的类似张量化结果；更一般地，对于随机变量 (X_i)_{i\in I}, (Y_j)_{j\in J}，我们将从 \{X_i:Y_j\}（i\in I, j\in J）的界限中寻找 \{\vec{X}_I:\vec{Y}_J\} 的界限。我的张量化定理将意味着对表现出渐近独立性的统计物理模型（如亚临界 Ising 模型）的新去相关结果。我将证明，对于此类模型，两团遥远的自旋在（Hilbert 意义上）去相关，且不依赖于其大小和形状：如果 I 和 J 是两个自旋集合，使得对所有 i\in I, j\in J 满足 dist(i,j)\geq d，则可以得到一个仅依赖于 d 的 \{\vec{X}_I:\vec{Y}_J\} 的非平凡界限。同样对于亚临界 Ising 模型等模型，我将证明如何再次通过张量化技术，利用 Hilbert 去相关来获得 Glauber 动力学的空间 CLT 或谱隙的（严格）正性。除此之外，我将最终证明一个新准则，以从所有 A\in F, B\in G 的 |P[A\cap B]-P[A]P[B]|/\sqrt{P[A]P[B]} 的一致界限来界定两个 $\sigma$-代数 F 和 G 之间的极大相关性 \{F:G\}。此类准则已为人所知，但我的准则严格改进了它们，并且可以进一步被证明是最优的。