关于样本相关矩阵最大元素的Jiang渐近分布

设$\{X, X_{k,i}; i \geq 1, k \geq 1 \}$为非退化独立同分布随机变量的双阵列，$\{p_{n}; n \geq 1 \}$为正整数序列，使得$n/p_{n}$远离$0$和$\infty$。本文致力于解决Li、Liu和Rosalsky (2010)提出的一个关于样本相关矩阵${\bf \Gamma}_{n} = \left ( \hat{\rho}_{i,j}^{(n)} \right )_{1 \leq i, j \leq p_{n}}$的最大元素$L_{n} = \max_{1 \leq i < j \leq p_{n}} \left | \hat{\rho}^{(n)}_{i,j} \right |$渐近分布的开问题，其中$\hat{\rho}^{(n)}_{i,j}$表示$(X_{1, i},..., X_{n,i})'$与$(X_{1, j},..., X_{n,j})'$之间的皮尔逊相关系数。我们在假设$\mathbb{E}X^{2} < \infty$下证明以下三个陈述等价：\begin{align*} & {\bf (1)} \quad \lim_{n \to \infty} n^{2} \int_{(n \log n)^{1/4}}^{\infty} \left( F^{n-1}(x) - F^{n-1}\left(\frac{\sqrt{n \log n}}{x} \right) \right) dF(x) = 0, \\ & {\bf (2)} \quad \left ( \frac{n}{\log n} \right )^{1/2} L_{n} \stackrel{\mathbb{P}}{\rightarrow} 2, \\ & {\bf (3)} \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left (n L_{n}^{2} - a_{n} \leq t \right ) = \exp \left \{ - \frac{1}{\sqrt{8 \pi}} e^{-t/2} \right \}, - \infty < t < \infty \end{align*} 其中$F(x) = \mathbb{P}(|X| \leq x), x \geq 0$且$a_{n} = 4 \log p_{n} - \log \log p_{n}$, $n \geq 2$。为建立此结果，我们提出了六个有趣的新引理，这些引理可能有助于样本相关矩阵的进一步研究。