与正则树上相互作用扩散相关的条件 McKean-Vlasov 过程的 H-定理

我们研究 $\kappa$-Markov 局部场方程 ($\kappa$-MLFE) 的长时间行为，该方程是一个与 $\kappa$-正则树上相互作用扩散相关的条件 McKean-Vlasov 方程。在系数的适当假设下，我们证明了 $\kappa$-MLFE 的适定性。我们还通过识别一个能量泛函（称为稀疏自由能）建立了一个 H-定理，该泛函沿 $\kappa$-MLFE 测度流的导数由一个非负泛函给出，该非负泛函可视为修正的 Fisher 信息。此外，我们证明后一个泛函的零点与 $\kappa$-MLFE 的平稳分布集合重合，并且也是 $\kappa$-正则树上分裂 Gibbs 测度的边缘分布。进一步，我们证明对于一类自然的初始条件，相应的测度流收敛到其中一个平稳分布，从而表明稀疏自由能充当全局 Lyapunov 函数。在温和的附加条件下，对于 $\kappa = 2$ 的情形，我们证明稀疏自由能自然地作为某些相对熵的重整化极限出现。我们利用这一特性证明了一个修正的对数 Sobolev 不等式，并建立了 $2$-MLFE 测度流收敛到其唯一平稳分布的指数收敛速率。