一个一阶整函数的显式构造：所有零点位于一条直线上且在半平面内有界

我们构造了一个单一的显式整函数 $\Xi_c(s)$，其阶为 1，所有零点可证明位于 $Re(s) = 1/2$ 上，满足泛函方程 $\Xi_c(s) = \Xi_c(1-s)$，其归一化形式 $Z_c(s) = \Xi_c(s)/[\tfrac{1}{2}s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)]$ 在 $Re(s) > 1 + \delta$ 上一致有界，却满足 $\sup_t|Z_c(1+it)| = +\infty$。因此，该函数满足黎曼猜想的类似物，并具有 $\zeta$ 在 $\sigma = 1$ 处特有的锐利有界/无界转换。该转换由 Dirichlet 级数 $D(s) = \sum e^{-ik\theta} p_k^{-s}$ 控制，其在 $\sigma > 1$ 处的绝对收敛与在 $\sigma = 1$ 处的发散驱动了这种二分性。关键技术输入是一个二进大筛估计，它建立了将 Hadamard 乘积与 $D$ 联系起来的线性化条件。该构造与证明是与 Claude (Anthropic) 合作开发的；见致谢。