GPU上两级Schwarz区域分解预处理器的实验研究

广义Dryja–Smith–Widlund（GDSW）预处理器是一种两级重叠Schwarz区域分解（DD）预处理器，它将经典的一级重叠Schwarz预处理器与能量最小化粗空间相耦合。当用于加速Krylov子空间迭代法的收敛速度时，GDSW预处理器对求解由广泛偏微分方程离散化产生的稀疏线性系统具有鲁棒性和可扩展性。本文介绍FROSch（Fast and Robust Schwarz），一个在CPU和GPU集群上均实现GDSW型预处理器的区域分解求解器包。为提升GPU上求解器性能，我们采用一种新颖的分解方式在每个GPU上运行多个MPI进程，从而降低求解器的计算和存储开销，并可能改善收敛速度。这使我们利用GPU获得了相较仅用CPU更具竞争力或更优的性能。我们在配备NVIDIA V100 GPU的Summit超级计算机上展示了FROSch的性能，其中使用NVIDIA多进程服务（MPS）实现我们的分解策略。该求解器具有丰富的算法和实现选项，这为其GPU实现带来机遇与挑战。我们通过不同的求解器选项进行了详尽实验研究，包括在GPU上精确或近似求解局部重叠子域问题。我们还讨论了使用不完全LU分解的迭代变体及稀疏三角求解作为近似局部求解器、以及使用较低精度计算整个FROSch预处理器的效果。总体而言，使用GPU使求解时间减少约$2\times$，而数值装配时间的GPU加速取决于求解器选项和局部矩阵规模。