周期剪切流中被动标量弥散的精确解

我们给出了在一般初始条件下剪切弥散问题的精确解析解。该解表示为涉及 Mathieu 函数及其特征值的无穷级数展开。特征值系统依赖于虚参数 $q=2ik$Pe，其中 $k$ 为决定初始条件中示踪剂尺度的波数，Pe 为 P\'{e}clet 数。解对所有 Pe、$t>0$ 和 $k>0$ 均有效，除了在特定值 $q=q_{\ell}^{EP}$（称为异常点（EPs））处，第一个异常点出现在 $q_{0}^{EP}\approx1.468i$。对于 $q \lessapprox 1.468i$ 的值，所有特征值均为实数、互异，且特征函数随时间衰减，因此剪切弥散可表示为扩散过程。对于 $q \gtrapprox 1.468i$ 的值，特征值对在异常点处合并成为复共轭，特征函数随时间传播并衰减，因此剪切弥散不再是纯扩散过程。极限 $q\rightarrow0$ 由所有有限 $k>0$ 的小 P\'{e}clet 数极限逼近，或等价地由大 P\'{e}clet 数极限在 $2k \ll 1/$Pe 时逼近。后者意味着 $k\rightarrow0$，即示踪剂与流动之间的强尺度分离。极限 $q\rightarrow\infty$ 源于任意 $k>0$ 的大 P\'{e}clet 数，或源于大 $k$ 且非消失的 Pe。我们推导了一个在波数空间连续的精确闭包。在小的 $q$ 下，闭包逼近一个扩散算子，其有效扩散率正比于 $U_0^2/\kappa$，其中 $U_0$ 为流速，$\kappa$ 为扩散率。在大的 $q$ 下，闭包逼近一个平流算子与一个半阶导数算子（分数阶微分算子）之和，后者系数正比于 $\sqrt{\kappa U_0}$。