自守散射行列式中心值的计算

设 $M$ 为一个有限体积、非紧的双曲 Riemann 曲面（可能含有椭圆不动点），并设 $\phi(s)$ 表示自守散射行列式。由已知的函数方程 $\phi(s)\phi(1-s)=1$ 可推得 $\phi(1/2)^{2} = 1$。然而，除少数 $\phi(s)$ 可显式计算的情形外，人们尚不知晓 $\phi(1/2)$ 的值。本文针对此问题进行了研究并证明了以下结果：设 $N$ 和 $P$ 分别表示 $\phi(s)$ 在 $(1/2,\infty)$ 区间内的零点和极点个数（计重数）。设 $d(1)$ 为 $\phi(s)$ 的 Dirichlet 级数分量中首项的系数。则有 $\phi(1/2)=(-1)^{N+P} \cdot \mathrm{sgn}(d(1))$。