由一阶变分公式导出的平面区域 Steklov zeta 函数的估计

我们考虑周长为 $2\pi$ 的光滑有界单连通平面区域 $\Omega \subset R^2$ 的 Steklov zeta 函数 $\zeta_\Omega$。我们在区域的光滑形变下给出 $\zeta_\Omega$ 的一阶变分公式。基于该公式，我们证明了对每个 $s \in (-1, 0) \cup (0, 1)$，差值 $\zeta_\Omega(s) - 2\zeta_R(s)$ 非负，且当且仅当 $\Omega$ 为圆盘时等于零（$\zeta_R$ 为经典 Riemann zeta 函数）。我们的方法还给出了不等式 $\zeta_\Omega(s) - 2\zeta_R(s) \ge 0$（$s \in (-\infty, -1] \cup (1, \infty)$）的另一种证明；后一事实在我们之前的论文 [2018] 中以不同方式被证明。我们还提供了等式 $\zeta_\Omega(0) = 2\zeta_R(0)$ 的另一种证明，该等式由 Edward 和 Wu [1991] 得到。