伽罗瓦理论中关于不可约多项式根的一个初等问题

对于域$K$，以及$K$上不可约多项式(在某一代数闭包中)的一个根$\alpha$，本文研究位于$K(\alpha)$中$f(x)$的根的个数。给定这样一个$n$次多项式$f(x)$，其中有$r$个根在$K(\alpha)$中，我们描述一种构造，对$d\ge2$，产生次数为$nd$且恰有$rd$个根位于这些多项式任一根所生成域中的不可约多项式。我们的结果对所有数域以及可能某些更多完美域成立。作为一个应用，对$K=Q$与正整数$n\ge3,d\ge2$，我们提供次数为$nd$且恰有$d$个根位于由其中一个根生成的域中的不可约多项式。独立地，对$k<n$，我们在有理数上构造次数为$n!/(n-k)!$的不可约多项式，其由一个根生成的域恰含$k!$个根。提供了许多有趣的新问题以供进一步研究。