关于含复根的素数次多项式的伽罗瓦群

设 $f$ 为 $\QQ$ 上次数为素数 $p\geq 5$ 的不可约多项式，且恰好有 $k$ 对复根。利用 Jens H"{o}chsmann (1999) 的结果，我们证明了如果 $p\geq 4k+1$，则 $\Gal(f/\QQ)$ 同构于 $A_{p}$ 或 $S_{p}$。这改进了由 A. Bialostocki 和 T.Shaska 提出的计算素数次不可约多项式伽罗瓦群的算法。如果此类多项式 $f$ 可用根式求解，则其伽罗瓦群为次数 p 的 Frobenius 群。反之，任何次数为 p 且阶为偶数的 Frobenius 群，均可实现为 $\QQ$ 上某个具有复根的 $p$ 次不可约多项式的伽罗瓦群。