一个非对称容器引理及无诱导 $4$-圈图的结构

超图容器方法近来由 Balogh、Morris 和 Samotij 以及 Saxton 和 Thomason 独立引入，已被证明是研究各种单调图性质的极有用工具。特别地，该技术一个相当直接的应用使得人们能为每个非二部图 $H$ 定位如下阈值：在具有给定边数的典型 $H$-自由图中，边的分布在其中从“随机类”到“结构化”发生转变。另一方面，对于非单调遗传图性质，该方法的标准版本甚至无法确立此类阈值的存在性。本文引入容器方法的一个改进，其考虑了遗传图性质稀疏成员中边与非边的非对称性。作为一个应用，我们对每个满足 $n^{4/3} (\log n)^4 \leqslant m \ll n^2$ 的函数 $m = m(n)$，确定了具有 $n$ 个顶点、$m$ 条边且无诱导 $4$-圈的典型图的近似结构。我们证明几乎所有此类图 $G$ 具有如下性质：$G$ 的顶点集可划分为一个“几乎独立”集（具有 $o(m)$ 条边的集合）和一个“几乎团”（导出子图密度为 $1-o(1)$ 的集合）。$m$ 的下界在多对数因子内是最优的，因为标准论证表明若 $n \ll m \ll n^{4/3}$，则几乎所有此类图是“随机类”的。作为一个进一步推论，我们推得随机图 $G(n,p)$ 在条件化为不含诱导 $4$-圈时，在 $p = n^{-2/3 + o(1)}$ 与 $p = n^{-1/3 + o(1)}$ 处经历相变。