关于不含固定顶点临界子图的图的典型结构

本文研究了稀疏 $H$-自由图的典型结构，即不包含与给定图 $H$ 同构的子图的图。Osthus、Prömel 和 Taraz 针对 $H$ 为奇圈的开创性结果，Balogh、Morris、Samotij 和 Warnke 将其推广并证明：对每个 $r \ge 3$，具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的随机 $K_{r+1}$-自由图的结构在 $m$ 跨越一个显式（尖锐）阈值函数 $m_r(n)$ 时发生相变。他们猜想，当 $K_{r+1}$ 被任意严格 $2$-平衡、边临界图 $H$ 替代时，会出现类似的阈值现象。本文解决了该猜想。事实上，我们证明了对包含全部边临界图的一类顶点临界图 $H$ 中的每一个，典型 $H$-自由图的结构都经历类似的相变。