超图中的独立集以及图与整数的 Ramsey 性质

组合数学及其他相关领域的许多重要问题都可以用超图中独立集的语言来表述。最近，Balogh、Morris 和 Samotij，以及独立的 Saxton 和 Thomason 开发了关于超图独立集的非常通用的容器定理（container theorems）；两者都已广泛应用于各种问题。在本文中，我们利用容器方法，对关于（超）图和整数的 Ramsey（及 Tur\'an）性质的若干结果给出了相对简短且初等的证明。具体而言：(i) 我们通过提供一个韧性类比，推广了 R"odl 和 Ruci\'nski 的随机 Ramsey 定理。我们的结果统一并推广了该领域的几个基本结果，包括 Conlon、Gowers 和 Schacht 提出的 Tur\'an 定理的随机版本。(ii) 上述结果还解决了 Kohayakawa 和 Kreuter 提出的非对称随机 Ramsey 猜想的一个一般子情况。(iii) 事实上，上述所有结果均适用于一致超图。(iv) 对于（超）图 $H$，我们在指数项误差范围内确定了具有关于 $H$ 的 Ramsey 性质的 $n$ 顶点（超）图 $G$ 的数量（即，每当 $G$ 被 $r$ 染色时，$G$ 中都存在 $H$ 的单色拷贝）。(v) 我们通过证明该结果的一个韧性版本，加强了 Friedgut、R"odl 和 Schacht 的随机 Rado 定理。(vi) 对于划分正则矩阵 $A$，我们在指数项误差范围内确定了 $\{1,\dots,n\}$ 的子集数量，对于这些子集存在一种 $r$ 染色，其中不包含 $Ax=0$ 的单色解。在此过程中，我们提出了一些开放性问题。